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쇠(Steel)로 된 긴 자(Scale)의 양쪽 끝을 잡고 구부리면 자는 휘어집니다. 상당히 휘어져도 무서움을 무릅쓰고 계속 구부리면 결국 자는 부러질 것입니다. 자를 설계하는 사람은 이 자를 얼마나 쉽게 또는 어렵게 휘어지게 할지를 결정해야 하고, 부러지는 정도는 얼마나 쉽게 또는 어렵게 할 것인지도 동시에 결정해야 합니다.

그림 1. 살짝 구부린 자

또다른 경우로 다리를 예로 들어 보겠습니다. 어느 다리에 무거운 트럭이 여러 대 올라갔습니다. 그걸 본 사람들은 다리가 무너지지 않을지 걱정했습니다. 다리가 부서지지는 않았지만 트럭이 지나갈 때 다리가 상당히 출렁거려서 운전을 하는 사람이 사색이 되었습니다. 이 다리는 어쨌든 무거운 트럭이 올라가도 부서지지 않았으니 설계에 문제가 없는 것일까요? 그렇지 않습니다. 앞의 자의 예와 마찬가지로 설계자는 다리에 차량들이 올라갔을 때 다리가 어느 정도의 무게까지 버티게 할 것인지, 그리고 어느 정도만 변형되게 할 것인지를 설계에 반영해야 합니다. 다리가 무너지지는 않았지만 과도한 출렁거림이 발생한 이 다리는 좋은 설계라고 보기 어렵습니다.

그림 2. 다리 위를 지나가는 트럭

여기서 부서지느냐 마느냐는 강도(Strength)의 문제이고 얼마나 휘어지느냐는 강성(Rigidity)의 문제라고 합니다. 강도와 강성이 각각 서로 다른 기준이기는 하지만 모두 만족되도록 설계해야 합니다.

1. 시뮬레이션과 유연체

설계한 제품을 직접 만들어서 시험하지 않아도 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하면 강도(얼마나 부서지지 않고 버티는지), 강성(얼마나 휘어지는지)을 확인할 수 있습니다.

과거에는 설계를 할 때 평면 종이에 자와 연필로 직접 선을 그어서 도면을 그렸습니다. 그러다가 컴퓨터에 평면 도면을 그리는 단계를 거쳐 요즘은 컴퓨터에 바로 입체 형상을 그리는 방식으로 발전했습니다. 이렇게 컴퓨터를 이용해서 설계를 하는 것을 CAD(Computer aided design)라고 합니다.

시뮬레이션은 CAD에서 이미 만들어진 제품의 형상을 사용합니다. 그런데 CAD에서 만든 형상은 겉모습과 질량만 표현할 뿐이어서 얼마나 휘어지는지를 계산하는 데는 사용할 수 없습니다. 그래서 시뮬레이션에서 추가 작업을 해서 휘어질 수 있도록 해 주어야 합니다. 휘어질 수 있게 하는 방법으로는 형상을 잘게 자르고, 잘라진 조각과 바로 옆 조각과 사이에 스프링을 붙이는 방법을 사용합니다. 잘라진 조각 하나 하나는 요소(Element)라고 합니다. 잘라진 요소 전체를 그림으로 표현해 보면 마치 그물처럼 보여서 잘게 자른 것을 메쉬(Mesh)라고 합니다. 그리고 휘어질 수 있게 된 형상을 유연체(Flexible body)라고 합니다.

잘게 자른 조각을 모아서 어떤 굴곡진 형상을 표현하려고 할 때, 사용하는 조각의 크기가 작으면 작을수록 정확하게 곡면을 따라갈 수 있습니다. 만약 무한히 작게 자를 수 있다고 하면 조각의 크기는 한없이 작아지고 곡면은 정확 해집니다. 하지만, 조각 개수를 무한히 사용할 수는 없기 때문에 실제로는 적당한 선에서 결정을 합니다. 이와 같이 무한(∞)히 많은 개수 대신 어떤 숫자(N)에서 결정하기 때문에 시뮬레이션에서는 이 방법을 유한요소법(Finite element method - FEM)이라고 합니다.

그림 3. 서로 다른 크기의 조각으로 나누어진 형상

2. 진동

루이스 캐럴 엡스타인이 지은 『재미있는 물리여행 』에서는 진동에 대해 다음과 같이 설명하고 있습니다.

(루이스 캐럴 엡스타인: Lewis Carroll Epstein 샌프란시스코 시티 칼리지 물리학 교수 역임 『Thinking physics』)

“공간에서 출렁거리는 것이 파동입니다. 또 시간의 흐름에 따라 출렁거리는 것은 진동입니다. (중략) 파동은 한 지점에 고정되어 있지 않고 한 지점에서 다른 지점으로 뻗어 나갑니다. 또 진동은 어느 한 순간에만 일어나는 것이 아니라 시간의 흐름에 따라 움직입니다. 시간과 공간에 따라 전개된다는 특징 외에도 파동과 진동은 특이한 점이 있습니다. 바위가 있는 곳에 또 다른 바위를 겹쳐 놓을 수 없지만 하나 이상의 파동과 진동은 동시에 같은 장소에 존재할 수 있습니다. 이는 마치 여러 사람이 동시에 같은 방에서 노래하는 것과 같습니다. 이렇게 부르는 노래와 교향곡을 연주하는 오케스트라가 만드는 진동이 겹쳐져 생긴 전체 진동은 레코드판에 단 하나의 물결 홈으로 기록할 수 있습니다. 그런데 놀랍게도 우리의 귀는 여러 음원이 만들어 내는 복잡한 협주곡을 음미하면서 각각의 진동을 구할 수 있습니다. 우리는 진동을 즐기는 것입니다.”

그림 4. 오케스트라의 연주 모습

이 글은 파동과 진동을 공간과 시간으로 구별해서 재미있게 설명한 글입니다. 관심 있게 보아야 할 내용은 아래 두 가지입니다.

1. 진동은 동시에 같은 장소에 존재할 수 있다. (겹칠 수 있다) 
2. 우리의 귀는 협주곡에서 각각의 진동을 느낄 수 있다. (악기 별로 소리를 구별할 수 있다)

이 설명은 진동을 각각의 개별 진동으로 나눌 수 있다는 뜻입니다. 예를 들어 <그림 5>는 소리 굽쇠의 진동 파형을 측정한 것인데, 이를 개별 진동으로 나눌 수 있습니다.

그림 5. 소리 굽쇠의 소리 파형

소리 파형의 진동을 FFT (Fast Fourier Transform)하면 진동을 각 주파수 별로 구분할 수 있습니다. <그림 6>은 측정한 소리 파형의 FFT 결과를 보여주는데 전체 진동을 366Hz, 710Hz 단순 진동으로 나눌 수 있음을 뜻합니다. 전체 진동을 각 주파수 별 진동으로 나눌 수 있다는 것은 각 주파수별 진동을 더하면 전체 진동과 같아진다는 의미입니다.

그림 6. 소리굽쇠 진동의 FFT 결과

이에 관한 좀 더 일반적인 설명으로 프랑스의 수리물리학자 푸리에(Fourier)가 말한 “복잡한 하나의 파동은 실은 단순한 파동이 몇 개나 더해진 것이다.”가 있습니다. 이 말은 아무리 복잡한 파동도 단순한 파동 여러 개로 분리할 수 있고, 이 단순한 파동들을 더하기만 하면 복잡한 파동과 같아진다는 뜻입이다. <그림 7>은 복잡한 파동(C)가 단순한 파동(A)와 파동(B)로 분리되는 것을 보여줍니다.

그림 7. 파동의 합 (이미지 출처: 책 <수학으로 배우는 파동의 법칙> 저자: Transnational College of LEX)

즉 어떤 복잡한 진동도 단순한 진동 여러 개로 분리할 수 있으며, 거꾸로 단순한 진동 여러 개를 더하면 어떤 복잡한 진동도 표현할 수 있습니다.

2편에서 계속 (유연체 시뮬레이션과 축소 모델 (2/2) -진동 모드를 이용한 유연체 해석)

작성: 펑션베이 중국사업본부 차태로 본부장