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이 글은 '유연체 시뮬레이션과 축소 모델 1편. 시뮬레이션과 유연체, 그리고 진동'에서 계속됩니다.

3. 진동 모드를 이용한 유연체 해석

(여기서의 해석은 '시뮬레이션'과 같은 의미입니다.)

휘어진 물체가 다시 원래 위치로 돌아갈 때는 진동을 합니다. 앞의 다리와 트럭의 사례에서 다리가 출렁거리는 것도 진동입니다. 어떤 경우든지 진동에는 휘어지는 물체가 존재합니다. 따라서 시뮬레이션에서는 유연체를 다룰 수 있는 유한요소법을 사용하여 진동 해석을 수행합니다.

1편에서 소개되었던 <그림 6>의 366Hz, 710Hz는 주파수를 하나만 갖는 단순 진동을 의미합니다. 이 주파수를 고유주파수(Natural frequency) 또는 모드(Mode)라고 합니다. 그리고 모든 고유 주파수는 각각 고유의 진동 형태를 갖는데, 각각의 진동형태를 모드 형상(Mode shape) 이라고 합니다. (모드 형상과 고유치 벡터(Eigen vector)는 같은 의미입니다.)

<그림 8>은 소리 굽쇠의 모드 형상을 보여줍니다. 이론적으로 모든 물체는 주파수가 낮은 것에서 높은 것까지 무한개의 고유주파수와 진동형상을 갖습니다. 하지만 시뮬레이션에서 이 무한개의 고유주파수와 진동형상을 모두 고려한다면 엄청난 계산량이 필요할 것입니다. 그래서 앞에서 설명한 ‘진동은 어떤 복잡한 변형 형태도 모드 형상의 합으로 표현할 수 있다.’는 특성을 이용합니다. 즉, 유연체의 시간에 따른 변형을 시뮬레이션 하는데 이 모드 형상을 사용할 수 있습니다. 실제로 많은 동역학 시뮬레이션에서 이 방법을 제공하고 있습니다. (RecurDyn의 경우, RFlex에서 이 기능을 제공하고 있습니다.)

1편에서 소개되었던 그림 6. 소리굽쇠 진동의 FFT 결과

그림 8. 시뮬레이션으로 계산한 소리 굽쇠의 고유주파수 별 모드형상

대부분 제공하는 방법은 CMS라고 부르는 Component mode synthesis (모드 합성법 혹은 부분 구조 합성법)입니다. CMS법은 원래 유한요소법으로 해석하는 대상물의 크기가 커지고 형상이 복잡해지면서 생긴 모델의 대형화 문제를 해결하는 대안인 축소 모델로서 개발되었습니다. (이를 Finite Element Model Reduction이라고 합니다.)

여기에 추가로 동역학 시뮬레이션에서는 유연체가 다른 물체와 조인트 등으로 연결되는 경우가 많기 때문에 조인트의 위치에서의 모드 형상이 중요합니다. CMS법은 구속모드 와 정적보정모드 를 같이 제공하기 때문에 조인트 위치에서의 모드 형상을 포함하여 동역학 시뮬레이션에서도 효과적입니다.

(정적보정모드 (static correction mode)는 fixed interface normal mode 라고도 하며 경우에 따라서는 현장에서 정적보정모드를 “constraint mode”라고 부르는 경우도 있습니다.)

3.1 진동 모드를 이용한 유연체 해석의 장점

3.1.1 계산량 감소

CMS는 유한요소모델의 축소를 목적으로 개발되었습니다. 여기서 말하는 축소는 계산량을 줄이는 것을 말합니다. 예를 들어 같은 유연체라 하더라도 계산량의 정도에 따라 상세 모델, 단순 모델, 축소 모델 로 만들 수 있습니다.

상세 모델이 강도 해석용 모델과 같이 작은 요소를 많이 사용해서 만든 모델이라면, 단순 모델은 상세 모델보다는 큰 요소를 사용해서 요소 개수를 줄인 모델이라고 할 수 있습니다. 그리고 축소 모델은 앞에서 설명한 CMS와 같은 방법을 사용해서 축소한 모델입니다. 축소 모델을 만들기 위해서는 우선 상세 모델이나, 단순 모델이 있어야 합니다. 상세 모델이나 단순 모델을 먼저 생성한 후, CMS를 이용하여 축소 모델을 만들게 됩니다.

그림 9. CMS를 이용한 축소 모델의 생성

(상세 모델: detailed FE model, 단순 모델: simplified FE model, 축소 모델: reduced FE model)

계산량의 측면에서 보면, 축소 모델을 계산할 때는 지금까지 살펴본 것처럼 모드를 사용하지만, 축소하지 않은 상세 모델이나, 단순 모델을 계산할 때는 모든 요소를 사용한다는 것이 큰 차이점입니다. 축소 모델은 사용하는 모드의 개수만큼의 계산량이 발생하는 반면, 축소하지 않은 모델은 모든 요소를 사용하기 때문에 요소의 개수에 비례해서 계산량이 증가합니다. 예를 들어 요소가 100,000개 있는 모델을 축소하지 않고 계산할 때 부하가 600,000이라면, 축소 모델의 부하는 100이 될 수 있습니다.

그림 10. 모델에 따른 계산량 비교

이와 같이 모드를 이용한 유연체(축소 모델)를 사용하면 계산량이 크게 감소하여 답을 구하는 데 필요한 계산 시간이 짧아지는 장점이 있습니다.

(RecurDyn에서는 RFlexGen을 이용하여 축소 모델을 만들 수 있습니다.)

3.1.2 유연체 생성 노력 절감

모델 축소에 사용되는 메쉬는 강도해석용 메쉬(상세 모델)처럼 조밀하지 않아도 충분히 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 모델 축소를 할 때는 앞에서 예로 든 단순 모델을 사용해도 충분합니다.

만약 높은 주파수의 소음이나 음향을 대상으로 한다면 상세 모델이 필요하겠지만 일반적으로 기계에서 문제가 되는 주파수는 그보다 낮은 경우가 많습니다. 이때는 강성과 질량만 제대로 표현할 수 있는 수준으로 메쉬를 생성해도 문제없이 사용할 수 있습니다. 특히 실생활에서 많이 사용되는 0~100Hz 정도의 낮은 주파수대에서는 굽힘과 비틀림의 정확도가 매우 높기 때문에 단순 모델을 CMS를 이용하여 축소해서 만든 유연체를 기계 진동 문제에 충분히 활용할 수 있습니다.

이와 같이 모드를 이용한 유연체(축소 모델)을 사용할 경우 사용자가 유연체를 만들 때 필요한 노력을 크게 줄일 수 있습니다. (이는 단순 모델에 비해 상세 모델을 만드는 노력이 상당히 크기 때문입니다.)

더욱이 성능이 좋은 자동 메쉬(Auto mesh) 기능을 사용하면 노력을 보다 줄일 수 있습니다. (RecurDyn의 mesher도 auto mesh 기능을 사용해서 mesh를 생성할 수 있습니다.)

3.2 진동 모드를 이용한 유연체 해석의 한계

앞에서 설명한 여러 모드 형상을 더해서 어떤 진동 형태를 나타내는 것이 가능한 이유는 여기에 중첩의 원리가 작용하고 있기 때문입니다. 중첩의 원리는 선형(Linear) 특성을 가질 때 적용할 수 있습니다. 따라서 진동 모드를 이용하는 유연체 해석은 선형조건을 만족하는 범위에서 사용하는 것이 좋습니다.

선형조건을 벗어 날 수 있는 경우로는 소재가 금속과 같은 선형 재료가 아니라 고무와 같은 초탄성 재료인 경우, 소성 변형을 포함하여 변형률이 일정하지 않은 대변형이 일어나는 경우, 예측하기 어려운 부분에 접촉이 발생하는 경우 등을 들 수 있습니다. 이와 같은 경우에는 축소 모델이 아닌 단순 모델이나 상세 모델을 사용해야 합니다.

4. 진동 모드를 이용한 유연체 해석의 활용

위에서 살펴본 한계에서 불구하고 진동 모드를 이용한 유연체 해석은 활용범위가 상당히 넓습니다. 왜냐하면 진동 모드를 이용한 유연체 해석(축소 모델을 이용한 해석)은 휘어짐을 전혀 고려하지 않는 강체를 사용하는 해석과 축소하지 않은 유연체 모델을 사용하는 해석 사이에 위치하기 때문입니다. 따라서 양쪽에서 장점은 취하고 단점을 피할 수 있습니다.

사용성 측면에서 보면 3.1.2에서 설명한 것과 같이 축소 모델을 만들 때 사용되는 유연체 모델의 상세한 정도가 결과의 정확도에 크게 영향을 주지 않기 때문에 축소 모델을 만들 때는 유연체를 빠르게 만들 수 있습니다.

 진동 해석 측면에서 보면 강체만 사용할 경우, 예를 들어 0~20Hz 범위 까지만 사용할 수 있다고 한다면 진동 모드를 이용한 유연체를 사할 경우 100~200Hz 범위까지 확장할 수 있습니다. 그래서 차량 진동이나 승차감 해석 등의 실사용 범위까지 적용할 수 있습니다.

유연체 해석 측면에서 보면 대형 모델을 축소해서 계산함으로써 빠르게 결과를 얻을 수 있을 뿐 아니라 실사용 범위에서 높은 정확도의 결과를 얻을 수 있습니다. 이론적으로는 변형량이 커서 선형을 벗어 나는 경우에는 진동 모드를 이용한 해석이 적합하지 않지만 기계 설계를 할 경우에는 변형량이 크지 않은 경우가 일반적이기 때문에, 대부분의 설계에 사용할 수 있습니다. 따라서 자동차, 건설장비 등 주행하는 기계의 프레임, 공장자동화 장비의 프레임 및 여타 기계 부품에 사용이 가능합니다.

또한 앞서 소개했듯이 동역학 시뮬레이션에서도 축소 모델을 활용하여 강체 뿐만 아니라 유연체가 포함된 모델을 빠르고 정확하게 해석할 수 있습니다. 비선형 특성이 중요한 모델의 경우에는 물론 상세 모델이 널리 활용되지만, 많은 경우 축소 모델로도 소요되는 노력과 시간 대비 충분히 의미 있는 결과를 얻을 수 있습니다. 이 글을 통해 축소 모델이 무엇이고 어떤 장단점을 갖는 지 이해함으로써, 앞으로 좀 더 적절히 시뮬레이션에 활용하는 데 도움이 될 수 있기를 바라며 글을 마칩니다.

그림 11. 축소 모델을 이용한 다물체 동역학 시뮬레이션의 확장

- 1편 (유연체 시뮬레이션과 축소 모델 (1/2) - 시뮬레이션과 유연체, 그리고 진동)

작성: 펑션베이 중국사업본부 차태로 본부장