주행 조건을 고려한 전기 자동차용 감속기 모델링

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[전기차의 동력 전달]

전기 자동차의 동력은 모터에서 시작합니다. 동력은 모터로부터 감속기로 전달되고, 이는 다시 감속기에서 적절한 토크와 회전 속도로 변환되어 바퀴로 전달됩니다. 반대로 바퀴로부터 발생한 주행 저항 또한 모터로 전달됩니다. <그림 1>

<그림 1>

주행 저항은 차량 주행 시 발생하는 저항을 말합니다. 차량에 적재된 물건 때문에 하중이 증가하거나, 고르지 않은 지면을 주행하거나, 경사가 심한 도로를 주행하게 되면 주행 저항은 증가하게 됩니다. 반대로 차량의 하중이 작거나, 잘 포장된 도로를 주행하거나, 내리막길을 달리면 주행 저항은 감소하게 됩니다. 차량이 같은 속도로 달리더라도 주행 저항이 클 경우 모터에 더 큰 출력이 요구되고, 주행 저항이 작을 경우, 상대적으로 작은 출력으로도 원하는 속도를 낼 수 있습니다.

[감속기 동역학 모델]

<그림 2>

<그림 2>와 같은 감속기의 동역학 모델을 만들기 위한 구속 조건은 간단합니다. 축에는 회전 조인트를 사용하고, 기어와 기어 간에는 접촉을 정의할 수 있습니다. 감속기의 경계 조건(모터의 입출력)은 간단히 속도 또는 토크로서 입력할 수 있습니다. 예를 들어 감속기의 입력은 모터로부터 전달되는 동력이며 이는 회전 속도 또는 토크로 정의하게 됩니다. 감속기의 출력은 바퀴의 회전 속도나 저항 토크로 정의할 수 있습니다. 따라서 시뮬레이션을 통해 원하는 결과를 얻기 위해서는 적절한 경계 조건의 정의가 필요합니다. 문제는 경계 조건으로 사용될 속도, 혹은 토크를 어떻게 구하느냐입니다. 시험을 통한 측정값이 있다면 가장 좋겠지만 그렇지 않은 경우, 감속기의 경계 조건으로 사용될 입력값과 출력값을 어떤 식으로 계산하고 사용하는지에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

[경계 조건의 계산]

상황에 따른 경계 조건을 계산하는 방법을 간단한 문제를 통해 알아보도록 하겠습니다.

<조건>

공차 중량: 1530Kg
모터 최고 출력: 100Kw
모터 최대 토크: 295Nm
기어비(Motor to Wheel): 7.68
차량 바퀴 외경: 627mm

<문제>

차량이 30% 경사의 아스팔트 도로를 50kph로 등속 주행할 경우 감속기의 입력과 출력에 대한 경계 조건은?

<풀이>

a. 입력 경계 조건 (모터의 회전속도)

감속기의 입력 조건으로 모터의 회전속도를 사용할 경우, 바퀴의 회전속도와 기어비를 통해 모터의 회전속도를 계산할 수 있습니다.

자동차의 속도가 50kph이고, 바퀴의 외경이 627mm 이라면 바퀴의 회전속도는 (식 1)과 같이 계산할 수 있습니다.

바퀴의 회전속도와 기어비를 이용해 모터의 회전속도를 구하면 아래와 같습니다. (식 2)

b. 출력 경계 조건 (주행 저항 토크)

감속기의 출력 조건으로 저항 토크를 사용할 경우, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

주행 저항 토크의 계산을 위해서는 먼저 주행 저항이 무엇인지 알아야 합니다. 주행 저항과 차량의 속도를 이용하여 ‘주행 저항 마력’을 계산할 수 있고, 주행 저항 마력과 바퀴의 회전속도를 통해 바퀴에 가해지는 저항 토크를 계산할 수 있습니다.

(주행저항)

주행 저항은 크게 네 가지로 나누어집니다. 타이어와 지면 사이의 접촉으로 발생하는 구름 저항, 경사 때문에 발생하는 구배 저항, 차량의 가속으로 발생하는 가속 저항, 공기 때문에 발생하는 공기 저항이 있습니다. 본 문제에서는 공기 저항은 없다고 가정하고, 등속 주행이기 때문에 가속에 의한 저항도 고려하지 않습니다.

1. 구름저항

구름 저항(Rr)은 차량 중량(W)와 구름저항계수(μ)의 곱으로 정의합니다. (식 4)

구름저항계수의 경우 노면의 상태에 따라 <표 1>과 같이 정의됩니다.

<표 1> 노면 상태에 따른 구름저항계수

위의 조건들을 고려해 구름 저항(Rr)을 계산하면 아래와 같습니다. (식 5)

2. 구배 저항

<그림 3>

<그림 3>에서 θ가 그리 크지 않을 경우 sinθ≅tanθ로 생각할 수 있으며, 도로의 기울기 tanθ를 수평거리 L (m)에 대한 높이 h (m) 비의 백분율(%)로 표시한 값으로 사용하기도 합니다. 이 때 수평 거리는 L= 100 (m)을 기준으로 합니다. 따라서 구배 저항(Rs)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. (식 6)

따라서 30% 경사각에서 구배 저항은 (식 7)와 같이 계산됩니다.

3. 총 주행 저항

총 주행 저항(R)은 앞서 설명한 네 가지 주행 저항의 합을 의미합니다. 이 문제에서는 공기 저항과 가속 저항을 고려하지 않으므로, 총 주행 저항은 구름 저항과 구배 저항의 합으로 나타낼 수 있습니다. (식 9)

(주행 저항 마력)

차량의 등속 주행 속도(V, km/h)와 주행 저항(R, kg), 기계 효율(η_t)을 이용하여 주행 저항 마력(Nr, hp)을 계산할 수 있습니다. (식 10)

기계 효율을 ηt=1 이라 가정하고, 앞서 계산한 주행 저항 결과(식 9)를 사용한다고 할 때, 주행 저항 마력은 다음과 같습니다. (식 11)

와트(W)로 단위 변환을 위해 (식 12)와 같이 계산합니다. (1hp = 0.75kW)

(주행 저항 토크)

마력과 토크의 관계는 (식 13)와 같이 나타낼 수 있습니다.

이를 다시 토크에 대하여 정리하면 (식 14)과 같이 나타낼 수 있습니다.

바퀴의 회전속도는 차량의 주행 속도와 바퀴 크기를 이용해 (식 15)와 같이 계산할 수 있습니다.

따라서 (12)과 (15)를 (식 14)에 대입하여 저항 토크를 계산하면 아래와 같습니다. (식 16)

[RecurDyn 을 이용한 감속기 모델링]

<그림 4> RecurDyn을 이용한 감속기 모델>

<그림 4>의 모델은 RecurDyn의 DriveTrain Toolkit을 이용하여 생성한 모델입니다. 기어, 샤프트, 베어링으로 구성된 DriveTrain Toolkit은 각 요소를 손쉽게 만들 수 있는 인터페이스를 제공합니다. 샤프트의 경우 빔요소로 구성된 유연체이기에 축 변형을 고려한 해석이 가능합니다. 베어링의 경우 다양한 베어링 라이브러리에서 원하는 베어링을 선택하여 사용할 수 있으며, 사용자 정의 베어링 또한 형상 정보 입력을 통해 생성이 가능합니다. 기어 또한 형상 정보를 통해 손쉽게 생성이 가능하며 기어 전용 접촉을 이용하여 빠르고 정확한 계산이 가능합니다.

이렇게 생성한 모델에 <표 2>와 같이 앞서 계산한 경계 조건을 설정합니다.

<표 2> 계산 결과

즉, (식 2)의 계산 결과인 모터의 회전속도 3249.02 RPM은 감속기의 입력으로 사용되며, (식 16)의 계산 결과인 1486.72 Nm는 감속기 출력부의 저항 토크로 사용됩니다.

해당 주행 조건에 필요한 모터의 출력은 주행 저항 마력과 동일하기 때문에, 출력 손실이 없다고 가정할 경우 입력과 출력의 파워는 동일합니다. 때문에 (식 14)을 이용하여 모터에 작용하는 토크 또한 계산할 수 있습니다. 하지만 입력과 출력의 경계 조건을 입력할 때는 속도 또는 토크 둘 중 하나의 값을 선택해서 입력하면 됩니다. 속도로 입력할 경우, 움직임의 반력으로 토크 결과를 얻게 되고, 토크로 입력할 경우, 속도를 결과로 확인할 수 있습니다.

[해석 결과]

본 예제에서는 모터의 입력을 속도로, 출력에는 저항 토크를 설정했습니다. 해석 결과로, 모터에 작용하는 토크는 (Gear pair1, Drive gear Torque)에서 확인할 수 있고 앞선 계산 결과(표 2)와 비슷한 결과를 보입니다. 또한 출력 속도는 (Gear pair2, Driven gear Speed)에서 확인할 수 있으며 마찬가지로 계산 결과(표 2)와 비슷한 것을 확인할 수 있습니다.

또한 본 해석 모델은 DriveTrain Toolkit의 기능 중 하나인 Meta Model을 이용한 접촉 계산으로 마이크로미터 단위의 정밀한 트랜스미션 에러 (Transmission Error) 결과를 확인할 수 있습니다. Meta Model은 기어의 강성을 사전에 계산 한 후 이를 이용하여 접촉을 계산하기 때문에, 빠르고 정밀한 결과를 얻을 수 있습니다. 또한 동일한 시스템에 경계 조건을 변경하는 등의 반복 해석이 필요한 경우에도 사전 계산된 Meta Model을 재사용 할 수 있어 빠르게 결과를 얻을 수 있습니다.